১ থেকে ১০০ এর মধ্যে কতটি সংখ্যাকে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়?

১ থেকে ১০০ এর মধ্যে কতটি সংখ্যাকে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়, তা নির্ণয় করতে হবে।

স্বাভাবিক সংখ্যা হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেমন \(1, 2, 3, ...\)। আমাদের এমন সংখ্যা \(N\) খুঁজে বের করতে হবে যেন \(N = a^2 + b^2\) হয়, যেখানে \(a\) এবং \(b\) উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা (\(a \ge 1, b \ge 1\)) এবং \(1 \le N \le 100\)।

প্রথমে, কিছু স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ লিখে নিই যা ১০০ এর নিচে:

    
• \(1^2 = 1\)
    
• \(2^2 = 4\)
    
• \(3^2 = 9\)
    
• \(4^2 = 16\)
    
• \(5^2 = 25\)
    
• \(6^2 = 36\)
    
• \(7^2 = 49\)
    
• \(8^2 = 64\)
    
• \(9^2 = 81\)
    
• \(10^2 = 100\)

এখন আমরা \(a^2 + b^2\) আকারে সংখ্যাগুলো তৈরি করব, যেখানে \(a\) এবং \(b\) উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা এবং \(a \le b\) ধরে নিব যাতে একই জোড় বারবার না আসে। আমরা \(a\) এর মান \(1\) থেকে শুরু করে ক্রমান্বয়ে বাড়াতে থাকব এবং \(b\) এর মান \(a\) থেকে বাড়াতে থাকব যতক্ষণ পর্যন্ত যোগফল ১০০ বা তার কম হয়।

\(a=1\) এর জন্য:

    
• \(1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2\)
    
• \(1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5\)
    
• \(1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\)
    
• \(1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17\)
    
• \(1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26\)
    
• \(1^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37\)
    
• \(1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50\)
    
• \(1^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65\)
    
• \(1^2 + 9^2 = 1 + 81 = 82\)
    
• (যখন \(b=10\), \(1^2 + 10^2 = 1 + 100 = 101\), যা ১০০ এর বেশি, তাই আর এই সেটে নতুন সংখ্যা নেই।)

\(a=2\) এর জন্য:

    
• \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\)
    
• \(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\)
    
• \(2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\)
    
• \(2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29\)
    
• \(2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40\)
    
• \(2^2 + 7^2 = 4 + 49 = 53\)
    
• \(2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68\)
    
• \(2^2 + 9^2 = 4 + 81 = 85\)

\(a=3\) এর জন্য:

    
• \(3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18\)
    
• \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
    
• \(3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34\)
    
• \(3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45\)
    
• \(3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58\)
    
• \(3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73\)
    
• \(3^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90\)

\(a=4\) এর জন্য:

    
• \(4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\)
    
• \(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\)
    
• \(4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\)
    
• \(4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65\)
    
• \(4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80\)
    
• \(4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97\)

\(a=5\) এর জন্য:

    
• \(5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\)
    
• \(5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\)
    
• \(5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\)
    
• \(5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89\)

\(a=6\) এর জন্য:

    
• \(6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\)
    
• \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\)
    
• \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)

\(a=7\) এর জন্য:

    
• \(7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98\)

(যখন \(a=8\) হবে, তখন \(8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128\), যা ১০০ এর বেশি, তাই আর কোনো নতুন সংখ্যা পাওয়া যাবে না।)

এখন, প্রাপ্ত অনন্য (unique) সংখ্যাগুলো একত্রিত করে একটি তালিকা তৈরি করি (ক্রম অনুসারে):

\{2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100\}

এই তালিকায় মোট 35টি সংখ্যা রয়েছে।

সুতরাং, ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে 35টি সংখ্যাকে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়।